Il ciclo "Entertaining Mathematics" è dedicato ai bambini appassionati di matematica e ai genitori che dedicano tempo allo sviluppo dei propri figli, "lanciandoli" con compiti interessanti e divertenti, enigmi.
Il primo articolo di questa serie è dedicato alla regola di Gauss.
Un po' di storia
Il famoso matematico tedesco Carl Friedrich Gauss (1777-1855) differiva dai suoi coetanei fin dalla prima infanzia. Nonostante provenisse da una famiglia povera, imparò a leggere, scrivere e contare abbastanza presto. Nella sua biografia si fa addirittura menzione che all'età di 4-5 anni riuscì a correggere l'errore nei calcoli errati di suo padre, semplicemente osservandolo.
Una delle sue prime scoperte fu fatta all'età di 6 anni in una lezione di matematica. L'insegnante aveva bisogno di affascinare i bambini per molto tempo e ha proposto il seguente problema:
Trova la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.
Il giovane Gauss ha affrontato questo compito abbastanza rapidamente, avendo trovato uno schema interessante, che si è diffuso ed è ancora utilizzato nel conteggio mentale.
Proviamo a risolvere questo problema oralmente. Ma prima prendiamo i numeri da 1 a 10:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Osserva attentamente questa somma e prova a indovinare cosa c'era di insolito in Gauss? Per rispondere, devi avere una buona comprensione della composizione dei numeri.
Gauss ha raggruppato i numeri come segue:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Così, il piccolo Karl ha ricevuto 5 coppie di numeri, ognuna delle quali dà individualmente in totale 11. Quindi, per calcolare la somma dei numeri naturali da 1 a 10, è necessario
Torniamo al problema originale. Gauss ha notato che prima di sommare è necessario raggruppare i numeri in coppie e quindi ha inventato un algoritmo grazie al quale è possibile aggiungere rapidamente numeri da 1 a 100:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
Trova il numero di coppie in una serie di numeri naturali. In questo caso sono 50.
Somma il primo e l'ultimo numero di questa serie. Nel nostro esempio, questi sono 1 e 100. Otteniamo 101.
Moltiplichiamo la somma risultante del primo e dell'ultimo membro della serie per il numero di coppie di questa serie. Otteniamo 101 * 50 = 5050
Pertanto, la somma dei numeri naturali da 1 a 100 è 5050.
Compiti per l'utilizzo della regola di Gauss
E ora la tua attenzione è invitata ai problemi in cui la regola di Gauss viene utilizzata in un modo o nell'altro. Questi enigmi sono abbastanza in grado di essere compresi e risolti da un bambino di quarta elementare.
Puoi dare al bambino l'opportunità di ragionare da solo, in modo che lui stesso "inventi" questa regola. E puoi smontarlo e vedere come può usarlo. Tra le attività seguenti ci sono esempi in cui è necessario comprendere come modificare la regola di Gauss per applicarla a una determinata sequenza.
In ogni caso, affinché il bambino possa operare con questo nei suoi calcoli, è necessaria la comprensione dell'algoritmo gaussiano, ovvero la capacità di dividere correttamente in coppie e contare.
Importante! Se una formula viene memorizzata senza comprenderla, verrà dimenticata molto rapidamente.
Compito 1
Trova la somma dei numeri:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.
Soluzione.
All'inizio, puoi dare al bambino l'opportunità di risolvere lui stesso il primo esempio e offrirti di trovare un modo in cui sia facile farlo nella mente. Quindi, analizza questo esempio con il bambino e mostra come ha fatto Gauss. Per chiarezza, è meglio scrivere una serie e collegare coppie di numeri con linee che sommano lo stesso numero. È importante che il bambino capisca come si formano le coppie: prendiamo il più piccolo e il più grande dei numeri rimanenti, a condizione che il numero di numeri nella riga sia pari.
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
- 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050
Un compito2
Ci sono 9 pesi che pesano 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Questi pesi possono essere divisi in tre pile di uguale peso?
Soluzione.
Usando la regola di Gauss, troviamo la somma di tutti i pesi:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)
Quindi, se riusciamo a raggruppare i pesi in modo che ogni pila contenga pesi con un peso totale di 15 g, il problema è risolto.
Una delle opzioni:
- 9 g, 6 g
- 8g, 7g
- 5g, 4g, 3g, 2g, 1g
Trova altre opzioni possibili tu stesso con tuo figlio.
Presta attenzione al bambino che quando tali problemi vengono risolti, è meglio iniziare sempre a raggrupparsi con un peso (numero) maggiore.
Compito 3
È possibile dividere il quadrante dell'orologio in due parti con una linea retta in modo che le somme dei numeri in ciascuna parte siano uguali?
Soluzione.
Per cominciare, applica la regola di Gauss alla serie di numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: trova la somma e vedi se è divisibile per 2:
Quindi puoi condividere. Ora vediamo come.
Pertanto, è necessario tracciare una linea sul quadrante in modo che 3 paia cadano in una metà e tre nell'altra.
Risposta: la linea passerà tra i numeri 3 e 4, quindi tra i numeri 9 e 10.
Un compito4
È possibile tracciare due linee rette sul quadrante dell'orologio in modo che la somma dei numeri in ciascuna parte sia la stessa?
Soluzione.
Per cominciare, applichiamo la regola di Gauss alla serie di numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: trova la somma e vedi se è divisibile per 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78
78 è divisibile per 3 senza resto, quindi puoi dividere. Ora vediamo come.
Secondo la regola di Gauss, otteniamo 6 coppie di numeri, ognuna delle quali somma fino a 13:
1 e 12, 2 e 11, 3 e 10, 4 e 9, 5 e 8, 6 e 7.
Pertanto, è necessario tracciare delle linee sul quadrante in modo che 2 paia cadano in ciascuna parte.
Risposta: la prima riga passerà tra i numeri 2 e 3, quindi tra i numeri 10 e 11; la seconda riga è tra i numeri 4 e 5, quindi tra 8 e 9.
Compito 5
Uno stormo di uccelli sta volando. Davanti c'è un uccello (leader), seguito da due, poi tre, quattro, ecc. Quanti uccelli ci sono nello stormo se ce ne sono 20 nell'ultima fila?
Soluzione.
Otteniamo che dobbiamo aggiungere numeri da 1 a 20. E per calcolare tale somma, possiamo applicare la regola di Gauss:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.
Compito 6
Come ospitare 45 conigli in 9 gabbie in modo che tutte le gabbie abbiano un numero diverso di conigli?
Soluzione.
Se il bambino ha deciso e compreso gli esempi del compito 1 con comprensione, viene immediatamente ricordato che 45 è la somma dei numeri da 1 a 9. Pertanto, mettiamo i conigli in questo modo:
- prima cella - 1,
- secondo - 2,
- terzo - 3,
- ottavo - 8,
- nono - 9.
Ma se il bambino non riesce a capirlo subito, prova a dargli l'idea che tali problemi possono essere risolti con la forza bruta e devi iniziare con il numero minimo.
Compito 7
Calcola la somma usando il trucco di Gauss:
- 31 + 32 + 33 + … + 40;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.
Soluzione.
- 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
- 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
- 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
- 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
- 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.
Compito 8
È disponibile un set di 12 pesi da 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g, 6 g, 7 g, 8 g, 9 g, 10 g, 11 g, 12 g. Sono stati rimossi dal set 4 pesi, la cui massa totale è pari a un terzo della massa totale dell'intero set di pesi. I pesi rimanenti possono essere posizionati su due piatti della bilancia, 4 pezzi su ogni piatto, in modo che siano in equilibrio?
Soluzione.
Applichiamo la regola di Gauss per trovare la massa totale dei pesi:
1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)
Calcoliamo la massa dei pesi che sono stati rimossi:
Pertanto, i pesi rimanenti (con una massa totale di 78-26 \u003d 52 g) devono essere posizionati 26 g su ciascun piatto della bilancia in modo che siano in equilibrio.
Non sappiamo quali pesi sono stati rimossi, quindi dobbiamo considerare tutte le opzioni possibili.
Applicando la regola di Gauss, puoi dividere i pesi in 6 paia di uguale peso (13 g ciascuno):
1g e 12g, 2g e 11g, 3g e 10, 4g e 9g, 5g e 8g, 6g e 7g.
Quindi l'opzione migliore è quando si rimuovono 4 pesi, verranno rimosse due paia di quanto sopra. In questo caso, avremo 4 paia rimaste: 2 paia su una scala e 2 paia sull'altra.
Il caso peggiore è quando 4 pesi rimossi rompono 4 paia. Avremo 2 paia ininterrotte con un peso totale di 26 g, il che significa che le posizioniamo su un piatto della bilancia e i pesi rimanenti possono essere posizionati su un altro piatto della bilancia e saranno anche 26 g.
Buona fortuna per lo sviluppo dei tuoi figli.
Oggi considereremo uno dei problemi matematici che ho dovuto risolvere con mio nipote. E poi lo implementiamo tramite PHP. E considera diverse opzioni per risolvere questo problema.
L'obiettivo:
È necessario sommare rapidamente tutti i numeri da 1 a 100 uno dopo l'altro e scoprire la somma di tutti i numeri.
La soluzione del problema:
In effetti, quando abbiamo risolto questo problema per la prima volta, lo abbiamo risolto in modo sbagliato! Ma non scriveremo sulla soluzione sbagliata a questo problema.
E la soluzione è così semplice e banale: devi aggiungere 1 e 100 e moltiplicare per 50. (Karl Gaus aveva una soluzione del genere quando era molto piccolo ...)
(1 + 100)*50.
Come posso risolvere questo problema con php?
Calcola la somma di tutti i numeri da 1 a 100 usando PHP.
Quando avevamo già risolto questo problema, abbiamo deciso di vedere cosa scrivono su "internet" su questo tema! E ho trovato una forma in cui i giovani talenti non potevano risolvere questo problema e ho cercato di farlo attraverso un ciclo.
Se non ci sono condizioni speciali per farlo attraverso un ciclo, allora non ha senso farlo attraverso un ciclo!
E sì! Non dimenticare che in php puoi risolvere il problema in molti modi! uno.
Questo codice può aggiungere qualsiasi sequenza di numeri da uno all'infinito.
Implementiamo la nostra soluzione nella sua forma più semplice:
$fine = $_POST["variabile"];
$res = $fine/2*($i + $fine);
